Position relative d'une droite et d'un plan

Propriété

Soit \(d\) une droite de l'espace de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) .
Soit \(P\) un plan de l'espace de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) .

La droite \(d\) est parallèle au plan \(P\)  si et seulement si \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont orthogonaux, c'est-à-dire  \(\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0}\) .

Remarque 1

Si \(\overrightarrow n\) et \(\overrightarrow{u}\) sont orthogonaux, alors la droite \(d\) est soit strictement parallèle au plan \(P\) , soit incluse dans le plan \(P\) .

Remarque 2

Soit \(d\) une droite de l'espace de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) .
Soit \(P\) un plan de l'espace de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) .
La droite \(d\) est sécante avec le plan \(P\) si et seulement si   \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{u}\)  ne sont pas orthogonaux, c'est-à-dire  \(\boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}\neq 0}\) .

Cas particulier

Soit \(d\) une droite de l'espace de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) .
Soit \(P\) un plan de l'espace de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) .
La droite \(d\) est orthogonale au plan \(P\) si et seulement si  \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{u}\)  sont colinéaires.